スマート駄目リーマンの忘備録

旅行記、キャリア論、世相分析など思ったことを書き連ねます

オイラーの公式の視覚的イメージ(e^it= cos t+ i sin t)

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 理系の大学初年度の学生ならば、必ず教わるオイラーの公式。私はそれを初めて目にした時に狐につままれたような気持ちになったことを強く覚えている。数式の意味について全く納得がいかなかったが、試験を突破する為にエイヤッと覚えて、とりあえず問題だけは解けるようにしていただけだった。

 一般的にはe x、cos x 、sin xについて、それぞれマクローリン展開を行い、xにitを代入すると等式が成り立つ説明がなされ、無理やり分かったことにした人も多いだろう。

 

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マクローリン展開

 しかしながら私は試験が終わった後でも頭にずっとひっかっかていた。もっと分かりやすい説明が無いものかと思っていた。そんな折に大学生協の本屋に立ち寄ったところ、「物理数学の直感的方法」という本に巡り合った。

そこには物理数学で必要となる公式についての図形を用いた視覚的、直感的説明がなされていた。この本のおかげで、テイラー展開、rotの公式などが、スーッと頭に入り、モヤモヤ感が一気に晴れた。

 数式の意味についてザックリ説明する。複素数平面上でt=0の時はe itはe の0乗で1になる。ここで、皆が陥るトラップはtへさらに具体的な実数を代入しようとしてしまうことだ。

このように純粋にe itを検討していると絶対に理解できない。ここで軌跡を知るためにe itを微分する。そうするとie itとなる。iをかけているので、座標ベクトルを90度回転させたものが速度成分となる。そして座標とその軌跡の速度成分が、直交しているのは円である。

 そうすると、e it = cos t + i sin tはe it の円軌跡を極座標表示しただけである。   e i π=-1が何故成立しているかも視覚的に理解できる。つまり半径1の円の上を1から-1までπ時間かけて到達したということになる。(速度がie it=i(cost+i sint)なので、速度の絶対値は1である。そして、当然だが円周上の1から-1の軌跡上の距離はπ)

 

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e itの速度成分